ジョー・ボーラーは新著で、数学に対するより柔軟で創造的なアプローチを提唱
「計算結果が正しいかどうかを一歩引いて考えることは、誰もが身につけるべき重要な数学のスキルの一つだ。」
「数学は柔軟で概念的であるべきであり、アイデアを遊び、つながりを作る場であるべきだ。」
スタンフォード大学教育大学院（GSE）の教授、ジョー・ボーラー氏は、数学との関係が疎遠になっていたり、苦手意識を持っていたりする人々に対して、その関係を修復するためのアイデアを持っています。特に若者たちには、不安や恐れではなく、遊び心と好奇心を持って数学に取り組んでほしいと願っています。
「ほとんどの人は、私が『従来の数学』と呼ぶ、高速で実行する必要がある一連の手順しか経験したことがありません。しかし、数学はもっと柔軟で概念的なものであり、アイデアを遊びながら学ぶ場であるべきです。それを開放し、創造性と多様な思考を促すことで、数学の経験を完全に変えることができます」とボーラー氏は言います。
ボーラー氏は、GSEのノメリーニ・オリヴィエ教育教授であり、スタンフォード大学の研究センターであるYoucubedの共同設立者兼学部長でもあります。このセンターは、140か国以上で2億3000万人以上の学生に数学学習リソースを提供しています。2013年、元高校数学教師であるボーラー氏は、数学教育に関する初の大規模公開オンラインコース（MOOC）「How to Learn Math」を制作しました。彼女は教師や管理者向けのワークショップやリーダーシップサミットも主導しており、彼女のオンラインコースは100万人を超えるユーザーが受講しています。
ボーラー氏の新著『Math-ish: Finding Creativity, Diversity, and Meaning in Mathematics』では、数学教育への幅広く包括的なアプローチを主張し、あらゆる年齢の学習者向けの戦略とアクティビティを提供しています。彼女は、創造性が数学の重要な部分である理由や、数字を視覚的かつ物理的に表現することの影響、そして「ishing」と呼ぶ数学の問題解決が、生徒が答えをよりよく理解するのに役立つ方法について説明しています。
「数学的な」思考とはどういう意味ですか?
これは現実世界の数字に対する考え方で、通常は不正確な推定値です。誰かがあなたの年齢、外の気温、空港までの所要時間などを尋ねた場合、一般的には私が「だいたいの」数字と呼んでいる数字で答えられますが、これは学校で数字を使い、学ぶ方法とはまったく異なります。
この本では、全国規模の試験で出された多肢選択問題の例を紹介しています。生徒は、2 つの分数 12/13 + 7/8 の合計を推測する必要があります。生徒は、最も近い答えとして、1、2、19、21 の 4 つの選択肢から答えを選びます。問題にある分数はいずれも 1 に非常に近いため、答えは 2 になりますが、 13 歳の生徒が最も多く答えたのは 19 でした。2 番目に多かったのは 21 でした。
驚くことではありません。なぜなら、生徒が分数を学ぶとき、概念的に考えることや分子と分母の関係を考慮することを学ばないことが多いからです。生徒は分数全体の意味を理解せずに、共通分母の作成と分子の加算または減算に関するルールを学びます。しかし、一歩下がって計算が妥当かどうかを判断することは、人が身に付けられる最も価値のある数学的スキルかもしれません。
しかし、数学的な精度は重要ではないというメッセージを送ってしまう危険性もありませんか?
正確さが重要ではないと言っているのではありません。私が提案しているのは、計算する前に生徒に概算をさせるということです。そうすれば、正確な答えを出した時に、それが理にかなっているかどうかを実際に感じることができるようになります。これは、生徒が全体像と焦点を絞った思考を切り替える方法を学ぶのにも役立ちます。この 2 つは異なるものの、同じように重要な推論モードです。
「『ishing』は単なる推定ではないのですか？」と尋ねる人がいます。確かにその通りですが、私たちが学生に推定を求めると、彼らはしばしば、それがまた別の数学的手法だと考えてうめきます。しかし、私たちが彼らに数字を『ish』するように求めると、彼らはもっと喜んで自分の考えを述べてくれます。
イッシングは、生徒が数字や図形に対する感覚を養うのに役立ちます。数学の鋭い角を和らげ、子供たちが飛び込んで取り組みやすくなるようにもなります。イッシングは、有害な考え方になり得る完璧主義の危険から生徒を守ることもできます。私たちは皆、人生にもう少しイッシングが必要だと思います。
あなたはまた、数学はもっと視覚的な方法で教えるべきだと主張しています。それはどういう意味ですか?
ほとんどの人にとって、数学はほぼ完全に記号的な数値体験です。視覚的なものは、通常、教科書に載っている、二等分角やスライスに分割された円などの無味乾燥な画像です。しかし、私たちが生活の中で機能する方法は、頭の中で物事のモデルを作成することです。ホッチキスを例に挙げましょう。ホッチキスの見た目、感触、音、ホッチキスとのやり取り、ホッチキスが物事に及ぼす影響など、すべてがホッチキスの仕組みを理解するのに役立ちます。
中学生を対象に行うアクティビティで、ルービック キューブのように、1 cm の小さな立方体でできた 4 x 4 x 4 cm の立方体の画像を見せることがあります。大きな立方体を青いペンキの缶に浸し、小さな立方体を分解すると何面が青く塗られるか、と生徒に尋ねます。生徒に角砂糖を与えて、4 x 4 x 4 の大きな立方体を物理的に組み立てさせることもあります。これは代数的思考につながるアクティビティです。
数年前、私たちはサマーキャンプでそのアクティビティを終えた1年後に生徒たちにインタビューし、何が心に残っているかを尋ねました。ある生徒は「私は今、幾何学の授業を受けていますが、あの角砂糖の見た目や感触を今でも覚えています」と言いました。彼のクラスでは靴の体積を推定するように言われ、その問題を解くために靴に1センチ角砂糖が詰まっているところを想像したと彼は言いました。彼は立方体のメンタルモデルを構築したのです。
立方体について学ぶとき、ほとんどの人は立方体を見て操作しません。平方根について学ぶときも、正方形を取ってその対角線を見ることはありません。数字を操作するだけです。
人々は、物理的な表現の方が幼い子供に適していると考えているのだろうか。
問題は、小学校の教師は子供たちにそういった経験を与えるのが素晴らしいのですが、中学校ではそれがなくなり、高校まではすべて記号的になってしまうことです。視覚的、物理的表現から始まり、記号へと積み上げていくという、洗練度の階層があるという神話があります。しかし、現在、高度な数学作業の多くは視覚的です。ここシリコンバレーでテスラのエンジニアを見れば、彼らは絵を描き、スケッチし、模型を作っていますが、誰もそれが初等数学だなどとは言いません。
38 x 5 を計算するさまざまな方法を数値的および視覚的に表現したもの。 | 提供: Jo Boaler
この本には、生徒たちに 38 x 5 を頭の中でどう計算するかを尋ね、生徒たちが同じ答えに到達するのに複数の異なる方法を考え出すという例があります。創造性は魅力的ですが、生徒たちに 1 つの標準的な方法を教えたほうが簡単ではないでしょうか。
数学には正しいアプローチが 1 つしかないという、狭く硬直した考え方が、ほとんどの生徒が経験するものであり、人々が数学トラウマを抱える大きな原因となっています。数学のあらゆる範囲と力を理解できないのです。数学の事実を盲目的に暗記する生徒だけでは、数感覚は発達しません。さまざまな状況で数字を柔軟に使う方法も学べません。また、考え方が違う生徒は、自分に何か問題があると思い込んでしまいます。
数学を開放して、概念や問題に対するさまざまな見方を認めることで、より多くの学生に数学の分野を開放することになります。私にとって数学の多様性とは、人々の多様性の価値と、数学の見方や学び方の多様性の両方を含む概念です。これらの多様性をひとつにまとめると、力強いものになります。世界のさまざまな考え方や問題解決方法を大切にしたいのであれば、数学の多様性を受け入れる必要があります。